Spis treści1. Co to jest liczba zespolona? Postać algebraiczna2. Część rzeczywista i urojona3. Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe?4. Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych5. Mnożenie liczb zespolonych6. Dzielenie liczb zespolonych7. Sprzężenie liczby zespolonej8. Moduł liczby zespolonej9. Argument główny liczby zespolonej10. Postać trygonometryczna liczby zespolonej11. Wzór de Moivre'a i potęgowanie liczb zespolonych12. Pierwiastkowanie liczb zespolonych13. Postać wykładnicza i wzory Eulera14. Pułapki związane z jednostką urojoną 15. Sprawdź swoją wiedzę o liczbach zespolonych - zadania kontrolne1. Co to jest liczba zespolona? Postać algebraicznaKażdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej:\[z=x+yi\]gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) (są liczbami rzeczywistymi), a "\(i\)" jest tzw. jednostką urojoną; liczbą, która po podniesieniu do kwadratu daje \(-1\):\(i^2=-1\)Każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną, innymi słowy zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) stanowi podzbiór liczb zespolonych, który oznaczamy symbolem \(\mathbb{C}\), tj. \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).Przykłady liczb zespolonych\[0=0+0i\]\[-2=-2+0i\]\[2+3i\]\[\sqrt{2}-5i\]CIEKAWOSTKA: Liczby zespolone, choć wydają się dziwnym tworem szalonego matematyka, mają ogromne zastosowania w wielu dziedzinach, np. w inżynierii elektrycznej, chemii, fizyce, medycynie, teorii sterowania. Pierwiastek z liczby ujemnej nie jest pomysłem pozbawionym logiki, ponieważ pozwala wykonać wiele ważnych obliczeń, których wynik jest "normalną" liczbą rzeczywistą. Liczby zespolone są, orócz macierzy i wyznaczników, jednym z podstawowych działów algebry Część rzeczywista i urojonaKoniecznie zapamiętaj dwa pojęcia związane z liczbami rzeczywistą liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(Re(z)\) oraz\[Re(z)=x\]Natomiast część urojoną liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy przez \(Im(z)\) oraz \[Im(z)=y\]Przykład 1Częścią rzeczywistą liczby \(2+i\) jest 2, a częścią urojoną jest 1, możesz to zapisać następująco:\[Re(2+i)=2\]\[Im(2+i)=1\]Przykład 2Część rzeczywista każdej liczby rzeczywistej jest równa tej liczbie, a część urojona liczby rzeczywistej jest równa zero:\[Re(-5)=-5\]\[Im(-5)=0\]Przykład 3Część rzeczywista każdej liczby czysto urojonej jest równa zero, a część urojona jest równa liczbie stojącej obok "\(i\)"\[Re(-2i)=0\]\[Im(-2i)=-2\]Przykład 4\[Re(x-y+2xi)=x-y\]\[Im(x-y+2xi)=2x\]Wyznacz część rzeczywistą i urojoną, moduł, argument i sprzężenie oraz postać trygonometryczną liczby zespolonej w kalkulatorze liczb zespolonych mojego Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe?Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]Przykład 1Przykład liczb zespolonych, które nie są sobie równe:\[2+5i\neq 5+2i\]ponieważ ich części rzeczywiste i urojone nie są równePrzykład 2Równość liczb zespolonych wykorzystywana jest bardzo często przy rozwiązywaniu równań zespolonych, oto przykład:\[z^2=i\]\[(x+yi)^2=i\]\[x^2+2xyi-y^2=i\]Porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron równania:\[\left\{\begin{array}{l}Re(x^2+2xyi-y^2)=Re(i)\\Im(x^2+2xyi-y^2)=Im(i)\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2=0\\2xy=1\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}(x-y)(x+y)=0\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x=y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,lub\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,(x,y\in\mathbb{R})\]\[\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\,\,\,\,lub\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\]Ostatecznie liczby spełniające równanie \(z^2=i\) są postaci:\[z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\,\,\,\,lub\,\,\,\,z=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]Działania na liczbach zespolonych4. Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonychLiczby zespolone dodajemy (odejmujemy) poprzez dodanie (odjęcie) osobno części rzeczywistych i urojonych, podobnie jak przy dodawaniu/odejmowaniu wielomianów tj. \(a+bx+c+dx=(a+c)+(b+d)x\). Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to\[z_1+ z_2=(x_1+y_1i)+ (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\]\[z_1- z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i\]Przykład 1\[i+2i=3i\]Przykład 2\[2+i+3-\sqrt{3}i=5+(1-\sqrt{3})i\]Przykład 3\[\frac{1}{2}+i-\left(2+\frac{1}{2}i\right)=\left(\frac{1}{2}-2\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)i=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\]Zauważ, że część rzeczywista sumy/różnicy liczb zespolonych jest sumą/różnicą części rzeczywistych:\[Re\left(z_1\pm z_2\right)=x_1\pm x_2\]Podobnie część urojona jest sumą/różnicą części urojonych:\[Im\left(z_1\pm z_2\right)=y_1\pm y_2\]5. Mnożenie liczb zespolonychLiczby zespolone mnożymy podobnie jak wykonuje się mnożenie wielomianów tj. \((a+bx)(c+dx)=ac+adx+bcx+bdx^2\). Dodatkowo pamiętamy, że \(i^2=-1\). Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to\[z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)\cdot (x_2+y_2i)=x_1 x_2+x_1 y_2 i+y_1x_2 i+y_1 y_2 i^2=\]\[=x_1 x_2-y_1 y_2+(x_1 y_2+ y_1 x_2)i\]Przykład 1\[i(2+i)=2i+i^2=-1+2i\]Przykład 2\[(3-\sqrt{2}i)(-1-i)=-3-3i+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i^2=-(3+\sqrt{2})-(3+\sqrt{2})i\]Zauważ, że część rzeczywista iloczynu liczb zespolonych jest postaci:\[Re\left(z_1\cdot z_2\right)=x_1 x_2-y_1y_2\]Natomiast część urojona iloczynu to:\[Im\left(z_1\cdot z_2\right)=x_1 y_2+y_1 x_2\]6. Dzielenie liczb zespolonychDzielenie liczb zespolonych wykonuje się podobnie jak przy usuwaniu niewymierności z mianownika w przypadku wyrażeń algebraicznych. Bardzo przydaje się tu następujący wzór skróconego mnożenia \((x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\).Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2 i}\cdot \frac{x_2-y_2 i}{x_2-y_2 i}=\frac{(x_1+y_1 i)\cdot (x_2-y_2 i)}{x^2_2+y^2_2}=\]\[=\frac{x_1 x_2-x_1 y_2 i+y_1 x_2 i+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}+\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}i\]Przykład 1\[\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{(-i)}{(-i)}=\frac{-i}{-i^2}=-i\]Przykład 2\[\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{1-(-1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\]Przykład 3\[\frac{1}{z}=\frac{1}{x+yi}\cdot \frac{(x-yi)}{(x-yi)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i\]Sprawdź wynik w kalkulatorze dzielenia liczb że część rzeczywista ilorazu liczb zespolonych jest postaci:\[Re\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}\]Natomiast część urojona ilorazu to:\[Im\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}\]Kliknij i zobacz więcej przykładów działań na liczbach zespolonych7. Sprzężenie liczby zespolonejSprzężenie liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(\overline{z}\):\[\overline{z}=x-yi\]Przykład 1\[\overline{1+i}=1-i\]Przykład 2\[\overline{5-2i}=5+2i\]Przykład 3\[\overline{(-i)}=i\]Przykład 4\[\overline{1}=1\]Część rzeczywista sprzężenia \(\overline{z}\) jest taka sama jak część rzeczywista liczby \(z\), natomiast część urojona sprzężenia \(\overline{z}\) jest liczbą przeciwną do części urojonej liczby \(z\):\[Re(\overline{z})=Re(z)\]\[Im(\overline{z})=-Im(z)\]Zapamiętaj najważniejsze własności sprzężeniaSprzężenie sumy/różnicy liczb zespolonych jest sumą/różnicą sprzężenień:\[\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}\]Sprzężenie iloczynu liczb zespolonych jest iloczynem sprzężenień:\[\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}\] Sprzężenie ilorazu liczb zespolonych jest ilorazem sprzężeń:\[\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\]8. Moduł liczby zespolonejModuł liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(|z|\):\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]Moduł liczby zespolonej \(z\) jest liczbą rzeczywistą nieujemną (\(|z|\ge 0\)), co więcej interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu 1\[|1|=|1+0i|=\sqrt{1^2+0^2}=1\]Przykład 2\[|-2i|=|0-2i|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=\sqrt{4}=2\]Przykład 3\[|-3+4i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]Zapamiętaj najważniejsze własności modułu zespolonegoModuł każdej liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą nieujemną:\[|z|\ge 0\]Moduł liczby \(z\) jest równy modułowi jej sprzężenia i liczby przeciwnej:\[|z|=|\overline{z}|=|-z|\]Kwadrat modułu liczby \(z\) jest równy iloczynowi liczby \(z\) i jej sprzężenia:\[|z|^2=z\cdot \overline{z}\]Moduł iloczynu liczb zespolonych jest iloczynem modułów:\[|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\]Moduł ilorazu liczb zespolonych jest ilorazem modułów:\[\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\]Moduł potęgi liczby zespolonej jest równy potędze modułu:\[|z^n|=|z|^n\]Na stronie możesz łatwo i szybko sprawdzić jaki jest moduł i argument liczby zespolonej. Wystarczy po prostu wpisać w odpowiednim polu liczbę zespoloną dla której chcesz obliczyć moduł i argument (zobacz przykład tutaj)Możesz też użyć kalkulatora liczb Argument główny liczby zespolonejto kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\) utworzony pomiędzy dodatnią częścią osi rzeczywistej (\(Re(z)\)), a promieniem wodzącym liczby \(z\).Niech \(z=x+yi\) oraz \(\arg(z)=\alpha\), wtedy\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]\[\cos \alpha=\frac{x}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]Zwykle spotkasz się z założeniem: \(0\le \arg(z)0,\,y>0\)): \[\arg(z)=arctg\left(\frac{y}{x}\right),\,\,x>0,\,\,y>0\]Zwykle stosuje się metodę graficzną (to podstawa!) plus jedna z metod 2 lub sposób wyznaczania argumentu:1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje) 2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\). Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\le 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]Zapamiętaj wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów:Kliknij i zobacz więcej przykładów jak liczyć moduł, sprzężenie i argument10. Postać trygonometryczna liczby zespolonejKażdą liczbę zespoloną można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\]gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument liczby \(z\).Przykład 1\[1=1\cdot (\cos(0)+i\sin(0))=\cos(0)+i\sin(0)\]Przykład 2\[i=1\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\]Przykład 3\[1+i=\sqrt{2}\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\]Zapamiętaj najważniejsze własności cosinusa i sinusaCosinus jest funkcją parzystą, a sinus nieparzystą:\[\cos (-\alpha)=\cos \alpha,\,\,\,\,\sin(-\alpha)=-\sin \alpha\]Funkcje trygonometryczne są okresowe (k jest liczbą całkowitą):\[\cos (\alpha+2k\pi)=\cos \alpha,\,\,\,\,\sin(\alpha+2k\pi)=\sin \alpha\]11. Wzór de Moivre'a i potęgowanie liczb zespolonychJeżeli \(z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\) oraz \(n\in\mathbb{N}\), to\[z^n=|z|^n(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)^n=|z|^n\big(\cos (n\alpha) +i\cdot \sin (n\alpha)\big)\]Przykład\[(1+i)^8=(\sqrt{2})^8\cdot \left(\cos\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=\]\[=2^4\cdot \left(\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)\right)=16\cdot (1+0)=16\]Możemy sprawdzić jeszcze wynik w kalkulatorze schemat potęgowania liczb zespolonych1. Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, w tym celu oblicz jej moduł i argument2. Zastosuj wzór de Moivre'a3. Przejdź z powrotem na postać algebraiczną, w tym celu oblicz wartości cosinusa i sinusa12. Pierwiastkowanie liczb zespolonychPierwiastek zespolony stopnia \(n\in\mathbb{N}\) z liczby \(z\) to każda liczba \(w\) spełniająca równość:\[w^n=z\]Zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych liczby \(z\) oznaczamy przez \(\sqrt[n]{z}\), taki zbiór zawiera dokładnie n liczb, które oznaczamy przez \(z_0,z_1,\ldots,n-1\):\[\sqrt[n]{z}=\{z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\}\]UWAGA: Pierwiastek zespolony i "zwykły" pierwiastek z liczby rzeczywistej, to dwa zupełnie inne pojęcia. Różnica jest taka, że pierwiastek zespolony to zbiór wszystkich rozwiązań równania \(w^n=z\) (tych rozwiązań jest dokładnie \(n\)), natomiast pierwiastek z liczby rzeczywistej to jedna 1Pierwiastek zespolony 2-go stopnia z liczby \(-1\), to zbiór złożony z liczb \(i\) oraz \(-i\):\[\sqrt{-1}=\{i,-i\}\]ponieważ \(i^2=-1\) oraz \((-i)^2=-1\).W przypadku liczb rzeczywistych pierwiastek 2-go stopnia z liczby \(-1\) w ogóle nie istnieje!Przykład 2Pierwiastek zespolony 2-go stopnia z liczby \(1\), to zbiór złożony z liczb \(1\) oraz \(-1\):\[\sqrt{1}=\{1,-1\}\]ponieważ \(1^2=1\) oraz \((-1)^2=1\).W przypadku liczb rzeczywistych pierwiastek 2-go stopnia z liczby \(1\) jest równy 1\[\sqrt{1}=1\]Kliknij i sprawdź obliczenia w kalkulatorze pierwiastków zespolonychKażdy z pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej \(z\) możemy obliczyć ze wzoru:\[z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0,1,\ldots,n-1\]gdzie \(|z|\) to moduł, natomiast \(\alpha\) to argument liczby \(z\).Dla przykładu \(z_0,\,z_1,\,z_2\) są następującej postaci:\[z_0=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)\]\[z_1=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2\pi}{n}\right)\right)\]\[z_2=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+4\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+4\pi}{n}\right)\right)\]Gdy znamy pierwiastek \(z_0\), to każdy następny pieriwastek da się obliczyć ze wzoru:\[z_k=z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=1,2,\ldots,n-1\]Powyższy wzór wynika z poniższych przekształceń, w których używamy mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:\[z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=\]\[=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right)\]Interpretacja geometryczna pierwiastków z liczby zespolonejZbiór pierwiastków stopnia \(\ge 3\) tworzy na płaszczyźnie zespolonej n-kąt foremny wpisany w okrąg o promieniu \(\sqrt[n]{|z|}\) i środku w początku układu współrzędnych. Gdy n=3 to otrzymamy trójkąt równoboczny, dla n=4 otrzymamy kwadrat. Dzięki interpretacji geometrycznej zbioru pierwiastków zespolonych możesz łatwo sprawdzić swoje obliczenia, wystarczy narysować wszystkie pierwiastki na płaszczyźnie i zobaczyć, czy tworzą wielokąt i zobacz więcej przykładów pierwiastkowania liczb zespolonych13. Postać wykładnicza i wzory EuleraKażdą liczbę zespoloną można zapisać również w postaci wykładniczej:\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)=|z|e^{i\alpha},\]gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument liczby \(z\), \(e\) to liczba Eulera (Nepera) oraz \(e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\sin \alpha\)PrzykładOto tożsamość Eulera, która uznawana jest za najpiękniejszy wzór matematyczny:\[e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1\]gdy powyższą tożsamość zapiszemy w postaci \(e^{i\pi}+1=0\), to w jednym równaniu będą występowały najważniejsze stałe matematyczne \(0,1,\pi,e,i\)Z postacią wykładniczą związane są wzory Eulera:\[\cos \alpha=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2},\,\,\,\sin \alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\]Wzory Eulera pojawiąją się najczęściej w zadaniach, w których należy zapisać funkcje trygonometryczne wielokrotności kątą w innej Pułapki związane z jednostką urojoną We wszelkich obliczeniach na liczbach zespolonych stosuj definicję jednostki urojonej, tj.:Jednostką urojoną nazywamy liczbę \(i\), taką, że \[i^2=-1\]Jednostka urojona to formalnie jeden z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych spełniających warunek \(i^2=-1\), drugim elementem jest liczba \(-i\), ponieważ \((-i)^2=(-1)^2\cdot i^2=-1\).Często możesz spotkać się z zapisem\[i=\sqrt{-1}\]który choć nieformalny (czyli niepoprawny matematycznie - zobacz część poświęconą pierwiastkowaniu liczb zespolonych) jest akceptowalny. Musisz jednak zachować ostrożność!Do czego może prowadzić stosowanie zapisu \(i=\sqrt{-1}\)?Oto przykłady sprzeczności jakie możena otrzymać stosując zapis \(i=\sqrt{-1}\):\[-1=i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1\]\[\frac{1}{i}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{-1}=i\]Powyższe sprzeczności wynikąją z nieuprawnionego zastosowania własności pierwiastka rzeczywistego w przypadku pierwiastków zespolonych (które nie są liczbami, a zbiorami liczb - zobacz część tego poradnika o pierwiastkowaniu liczb zespolonych).Ważne: Przy rozwiązywaniu zadań nigdy nie zamieniaj symbolu \(i\) na \(\sqrt{-1}\), jeśli jest "i" to niech tak zostanie, ale jeśli masz \(i^2\), \(i^3\) itp. to już spokojnie możesz zastosować definicję i napisać \(i^2=-1\) lub np. \(i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i\).15. Sprawdź swoją wiedzę o liczbach zespolonych - zadania kontrolne3. Podaj część rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych\[z_1=1,\,\,\,z_2=i,\,\,\,z_3=1+i\]Jeżeli \(z=x+yi\), to \(Re(z)=x\) (część rzeczywista) oraz \(Im(z)=y\) (część urojona), zatem:\[Re(z_1)=Re(1)=1\]\[Im(z_1)=Im(1)=0\]\[Re(z_2)=Re(i)=0\]\[Im(z_2)=Im(i)=1\]\[Re(z_3)=Re(1+i)=1\]\[Im(z_3)=Im(1+i)=1\]2. Oblicz\[i^3=?\]Skorzystamy z definicji jednostki urojonej, tj. \(i^2=-1\):\[i^3=i^{2+1}=i^2 \cdot i=-1\cdot i=-i\]3. Uzasadnij, że prawdziwy jest wzór skróconego mnożenia:\[(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\]Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\) oraz z definicji jednostki urojonej, tj. \(i^2=-1\):\[(x+yi)(x-yi)=x^2-(yi)^2=x^2-y^2 i^2=x^2-(-1)y^2=x^2+y^2\]Wzór ten możemy też oczywiście wyprowadzić korzystając tylko z własności działań na liczbach zespolonych (mnożymy kolejne wyrażenia w nawiasach):\[(x+yi)(x-yi)=x^2-xyi+xyi-(yi)^2=x^2-y^2 i^2=x^2-(-1)y^2=x^2+y^2\]4. Oblicz moduły liczb zespolonych\[z_1=i,\,\,\,z_2=1+i,\,\,\,z_3=-1-i\]Korzystamy z definicji modułu liczby zespolonej. Jeżeli \(z=x+yi\), to \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\):\[|z_1|=|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1\]\[|z_2|=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]\[|z_3|=|-1-i|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\]Zrób kolejny krok i ucz się liczb zespolonych na przykładach